Calcolo dei parametri del trasformatore reale in regime sinusoidale

Il trasformatore reale, oltre ad assorbire una corrente magnetizzante, presenta delle perdite nel ferro e nel rame.

La valutazione di queste perdite in regime sinusoidale e il valore da attribuire ai componenti del circuito equivalente costituiscono l’argomento di questo articolo.

Perdite nel ferro

Come già accennato sono dovute all’isteresi e alle correnti parassite.

Le prime dipendono dalla caratteristica magnetica del materiale e dal valore di induzione massima raggiunta. La valutazione analitica di queste perdite è difficoltosa, in quanto il ciclo d’isteresi ha variazioni anche notevoli tra vari lotti dello stesso materiale e l’area racchiusa dal ciclo dipende dall’induzione massima con legge quasi quadratica.

Poiché a ogni periodo della tensione applicata viene dissipato un ben preciso ammontare di energia, le perdite per isteresi sono proporzionali alla frequenza. Una relazione empirica molto utilizzata è la seguente

dove K1 dipende< dal tipo di lamierino adottato, f è la frequenza, BM l’induzione massima e G il peso espresso in kg

Anche le perdite per correnti parassite dipendono da grandezze difficilmente valutabili e anche per esse si propone una relazione (empirica abbastanza affidabile

dove a è lo spessore in millimetri dei lamierini utilizzati e K2 un coefficiente strettamente legato alla resistività del materiale magnetico

I fabbricanti di lamierini forniscono, per ogni tipo di materiale, la cifra di perdita Kp che corrisponde alle perdite che si riscontrano in 1 kg di lamierini, sollecitati all’induzione massima di 1 T alla frequenza di 50 Hz.

Le cifre di perdita standardizzate per i lamierini di uso corrente sono:

Kp =

  • 0,9 W/kg per i lamierini a cristalli orientati di spessore 0,35 mm
  • 1,1 W/kg per i lamierini a cristalli orientati di spessore 0,5 mm
  • 1,3 W/kg per i lamierini di Fe-Si, spessore 0,5 mm
  • 1,6 W/kg per i lamierini di Fe-Si, spessore 0,5 mm
  • 2,2 W/kg per i lamierini di ferro dolce, spessore 0,5 mm

Per calcolare le effettive perdite in watt nel ferro di un circuito magnetico avente

  • peso = G [kg]
  • induzione = B M [T]
  • frequenza = f [HZ] si usa la formula empirica

Da questa relazione si osserva che le perdite nel ferro sono proporzionali al quadrato dell’induzione e quindi al quadrato della tensione E1, giustificando cosi il collegamento di R0 in parallelo a E1 come nell articolo “trasformatore Reale” fig. 1.12.

Calcoliamo il valore di R0 a partire dall’espressione

e sostituendo nell’espressione di PFe

Considerando che R0 = E12/PFe, si ricava il valore di R0

La relazione indica che R0 aumenta con la frequenza.

Ricordiamo che R0 è espressa in ohm, la frequenza f è espressa in Hz, N1 è il numero di spire primario, sn la sezione della colonna in m2, Kp, è la cifra di perdita in W/kg, G è il peso del ferro in kg.

Perdite nel rame

Le perdite nel rame sono dovute alla resistività degli avvolgimenti. Con fili sottili e a bassa frequenza la resistenza di una bobina è calcolabile con la nota formula

dove l è la lunghezza totale del filo, data dal prodotto della lunghezza lm della spira media, per il numero di spire. Con fili di grande sezione e/o in funzionamento ad alta frequenza, la resistenza viene aumentata per due motivi:

  1. effetto pelle: per questo fenomeno, la corrente ad alta frequenza si dispone ai bordi del conduttore utilizzando così una sezione minore di quella disponibile, con conseguente aumento dell’effettiva resistenza del circuito percorso;
  2. perdite addizionali: anche nel rame vengono a circolare correnti parassite di Foucault, che, aggiungendosi a quelle joule, aumentano la resistenza equivalente.

A causa di questi fenomeni, quando si devono progettare trasformatori ad alta frequenza e/o con conduttori di elevata sezione, è opportuno consultare apposite tabelle per maggiorare adeguatamente il valore di resistenza rispetto a quella calcolata in corrente continua.

 

Induttanza di dispersione

Anche la valutazione dell’induttanza di dispersione sia primaria sia secondaria è complessa e richiede alcune semplificazioni.

Ammettendo che il flusso disperso primario concateni tutte e solamente le spire del primario e che il flusso disperso secondario concateni tutte e solamente le spire secondarie, sono state ricavate delle relazioni approssimate ma abbastanza affidabili, soprattutto per grandi trasformatori.

Queste espressioni assumono un diverso aspetto, a seconda del tipo di avvolgimento realizzato.

Per gli avvolgimenti concentrici, esposti in fig. 2.13, si indicano con h l’altezza degli; avvolgimenti, con Pm il loro perimetro medio, misurato sulla linea a tratto e punto, con x1 lo spessore del primario, con x2 quello del secondario e con x la distanza tra i due avvolgimenti. Le espressioni delle induttanze di dispersione risultano

Tutte le lunghezze sono espresse in metri

Con gli avvolgimenti sdoppiati, esposti in fig. 2.14, indicando con dm il diametro medio e con x2 la somma degli spessori dei due semi-avvolgimenti del secondario, si avrà

Si osservi che sdoppiando l’avvolgimento, a parità di altre condizioni, le induttanze di dispersione diminuiscono rispetto a quelle ottenute con l’avvolgimento concentrico.

Fig. 2.13 – Sezione trasversale in un trasformatore monofase con avvolgimento concentrico.

Fig. 2.14 – Sezione trasversale di un trasformatore monofase con avvolgimento concentrico sdoppiato.

Fig. 2.15 – Sezione longitudinale di un trasformatore monofase a bobine alternate.

Nel caso delle bobine alternate, illustrate in fig. 2.15, indicando con q il numero totale di bobine primarie e secondarie, con di il diametro interno e de quello esterno si avrà

Le due semi bobine di B.T. poste in testa agli avvolgimenti vengono conteggiate per una unità. Si osservi che l’induttanza diminuisce con l’aumentare del numero di bobine.

Fig. 2.16 – Circuito equivalente del trasformatore reale in regime sinusoidale.

A ogni induttanza di dispersione, in regime sinusoidale, viene abbinata la corrispondente reattanza di dispersione

X d1 = ωL1 per il primario

X d2 = ωL2 per il secondario

Il circuito equivalente completo del trasformatore reale in regime sinusoidale assume l’aspetto di fig. 2.16.

E opportuno ricordare che tutti i valori, sia reattivi sia resistivi, che compongono il circuito equivalente dipendono dalla frequenza: i parametri del circuito equivalente sono abbinati sempre a una frequenza di alimentazione, che deve essere specificata.

Esempio

Per un dato trasformatore è stato calcolato il valore di R<0 = 1000 Ω con f = 50 Hz e V= 100 V.

Ricalcolare il valore R0 con f’= 100 Hz, V’= V 100 V e con f”=f=50 Hz e V” = 50 V.

Soluzione Nel primo caso la tensione rimane costante, per cui raddoppiando la frequenza l’induzione BM si dimezza.

Le perdite nel ferro sono proporzionali al quadrato di BM, ma solamente all’esponente 1,2 della frequenza, per cui complessivamente diminuiscono. Questo corrisponde a un aumento di R0 secondo la formula

Nel secondo caso l’induzione si dimezza come la tensione e la f resta invariata: le perdite nel ferro PFe diventano un quarto del valore iniziale.

La R”0 risulta

La resistenza non è cambiata.

Se ne conclude che per un trasformatore già costruito la R0 varia al variare della frequenza di alimentazione, ma non della tensione (sempre che rimanga nei limiti imposti dal costruttore).

Esempio

Un trasformatore con avvolgimenti concentrici ha le seguenti caratteristiche:

N1=200; N2=50; h=220 mm; dm=180 mm x1=50 mm; x=8 mm; x2=40mm; f=50 Hz

Determinare la reattanza di dispersione primaria e secondaria.

Il perimetro medio dell’avvolgimento sarà

Si ricava immediatamente la Ld1 e Ld2

a cui corrispondono le reattanze

Xd1 =Ld1*2π f=1,66 Ω

Xd21 =Ld2*2π f=0,0878 Ω











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