Circuito ohmico-induttivo

Ci proponiamo di calcolare le potenze che interessano il circuito di fig. 4.6 nel quale un generatore di tensione v = Vmax, sen(ωt) alimenta un circuito serie ohmico-induttivo.


Fig. 4.6 – Triangolo delle tensioni e delle potenze in un circuito R-L.

La tensione ai capi di R sarà VR, quella ai capi di L sarà VL e la loro somma vettoriale corrisponde a V (fig. 4.6 b). Dall’articolo «Potenza in regime sinusoidale» è noto che la resistenza assorbe la potenza attiva P = VR * I, mentre la reattanza è interessata dalla potenza reattiva Q = VL*I.

La potenza apparente impegnata nel circuito è data, per definizione, dal prodotto dei valori efficaci della corrente e della tensione

Dal triangolo delle tensioni si vede che

moltiplicando ambo i membri per la corrente si ricava

e quindi

Da questa relazione si ricava un triangolo rettangolo, detto triangolo delle potenze, simile a quello delle tensioni (fig. 4.6 c), dal quale si ricava

Il coseno dello sfasamento tra tensione e corrente, che compare nelle formule, prende il posto del fattore di potenza: questo avviene solamente in regime sinusoidale; limitatamente a questo caso si pone

Fig. 4.7 – Triangolo delle potenze in circuito R-C.

L’angolo φ vale

oppure

Quando la potenza reattiva è capacitiva, il triangolo delle potenze risulta capovolto, come in fig. 4.7; il fattore di potenza coincide ancora con cosφ.

In una rete complessa possono essere presenti contemporaneamente più resistori, induttori e condensatori (fig. 4.8). Il calcolo della potenza è regolato dal teorema di Boucherot per il quale la potenza attiva totale è data dalla somma delle potenze dissipate da ogni resistore

mentre la potenza reattiva totale è ottenuta come somma algebrica delle singole potenze reattive: le potenze induttiva e capacitiva si compensano e quando sono uguali in valore assoluto si annullano a vicenda

Fig. 4.8 – Teorema di Boucherotz PT = P1 + P2 + P3; QT = Q1– Q2 + Q3.

La potenza apparente totale è diversa dalla somma delle singole potenze apparenti ed è espressa dalla relazione

Le espressioni fin qui ricavate che legano P, Q ed S sono valide solamente in regime sinusoidale; con forme d’onda diverse dalla sinusoide è valida la relazione

ed il fattore di potenza non è più dato dal coseno di un angolo, ma sempre dal rapporto tra la potenza attiva e quella apparente.

Il triangolo delle potenze che lega S, P e Q, consente una rappresentazione simbolica delle potenze

dove, con la convenzione adottata, la parte immaginaria positiva corrisponde a potenza reattiva induttiva.

A tale rappresentazione si può ugualmente risalire con il prodotto, in termini simbolici, tra la tensione ed il complesso coniugato della corrente

Poniamo attenzione al fatto che nell’espressione di S compare il complesso coniugato di I. Finché si pone I sull’asse reale non si distingue fra I ed il suo coniugato (I = I = I), e si ricava semplicemente

Quando invece la corrente non è posta sull’asse reale, ma è sfasata di un angolo \phi;I, è necessario distinguere fra I ed I e bisogna porre

da cui risulta

 

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