Operazioni lineari sui numeri complessi

Ridefiniamo sui numeri complessi le stesse operazioni già viste sulle sinusoidi e sui vettori. La somma o la differenza di due o più numeri complessi è un numero complesso avente la parte reale uguale alla somma o differenza delle parti reali e la parte immaginaria uguale alla somma o differenza di tutte le parti immaginarie


 

Si può verificare sul piano di Gauss la coincidenza della somma tra numeri complessi con la somma dei corrispondenti vettori, come in fig. 1.23.

Fig 1.23 – Somma tra due numeri complessi

Il prodotto fra due numeri complessi si effettua moltiplicando i due termini del primo numero per quelli del secondo, con le regole del prodotto fra due binomi:

ricordando che j2=-1

Si consiglia di verificare, per mezzo della rappresentazione vettoriale sul piano di Gauss, che il modulo del vettore prodotto P è pari al prodotto dei moduli Y e S, mentre la fase di P è data dalla somma delle fasi di Y e S, come già era stato visto a proposito del prodotto fra un vettore ed un operatore vettoriale.

Il prodotto per uno scalare e la rotazione di fase, già visti per i vettori, altro non sono che casi particolari del prodotto fra numeri complessi. Quando si moltiplica il numero complesso Y per il numero reale S con le usuali regole dell’algebra, si ottiene

Il Vettore P ha la stessa fase di Y e modulo pari ad YS.

Quando l’operatore vettoriale ha modulo unitario e fase φ, il suo prodotto per Y non fa altro che ruotare la fase di Y, senza alterarne il modulo.

L’operatore vettoriale unitario, indicato con F, ha l’espressione

(verificare che |F | = 1). Il prodotto Y*F‘ viene allora sviluppato come

È conveniente verificare sul piano di Gauss come il prodotto ottenuto abbia ancora lo stesso modulo di Y, ma sia ruotato dell’angolo α.

Per poter eseguire il rapporto tra due numeri complessi è necessari o innanzi tutto definire il numero complesso coniugato. Dato un numero complesso Y = a + j b, il complesso coniugato di Y, indicato con Y, è quel numero avente la stessa parte reale e parte immaginaria di segno opposto

Il prodotto fra un numero complesso ed il suo coniugato è sempre un numero reale che vale

Dati i soliti due numeri complessi Y = a +jb e S = c +jd, ne definiamo il rapporto

Come primo passo si deve trasformare il denominatore in un numero reale,moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato di quest’ultimo, tale operazione è detta razionalizzazione

di qui si procede eseguendo la moltiplicazione fra i due numeri complessi del numeratore e si ottiene

Anche in questo caso, passando alla rappresentazione vettoriale, si può verificare che il modulo del vettore U è pari al rapporto tra i moduli di Y e S e che la sua fase è data dalla differenza fra le fasi di Y e di S.

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