Numeri Complessi

I vettori, oltre che graficamente, possono essere trattati analiticamente utilizzando la perfetta corrispondenza con i numeri complessi, composti dalla somma di un numero reale e di un numero immaginario. La rappresentazione dei vettori per mezzo dei numeri complessi è detta rappresentazione simbolica.Indicando con Y un generico numero complesso, poniamo


Fig 1.21 – A) Rappresentazione di un numero complesso sul piano di Gauss. B) Rappresentazione di un vettore sul piano di Gauss a componente reale b componente immaginaria

dove a è la parte reale e b la parte immaginaria. Il fattore j, che moltiplica b, è l’unità immaginaria j = ./ √-1

I numeri complessi sono rappresentati su un piano cartesiano detto piano di Gauss, la cui ascissa prende il nome di retta dei numeri reali e la cui ordinata è detta retta dei numeri immaginari (fig. 1.21A).

Ad ogni numero complesso corrisponde un punto nel piano di Gauss, avente per ascissa la parte reale e per ordinata la parte immaginaria; ad esempio il numero Y = 3 +j2 corrisponde al punto avente ascissa + 3 e ordinata + 2, come in figura. La parola immaginario non deve dunque trarre in inganno: i numeri immaginari sono altrettanto veri dei numeri reali. A ciascun numero complesso Y = a + j b si associa un vettore indicato con lo stesso simbolo Y, che unisce l’origine al punto di coordinate a e b (fig. 1.21B).

Tale vettore avrà modulo

e fase

mentre le coordinate sull’asse reale e immaginario risultano

Il simbolo Y può essere quindi interpretato indifferentemente come vettore, di modulo Y e fase φ, o come numero complesso di componenti a + j b. L’unità immaginaria j viene definita dall’algebra

Le successive potenze di j sono calcolate nella tabella seguente:

Si osserva che le potenze di j, quando vengono rappresentate sul piano di Gauss, corrispondono tutte a vettori di modulo unitario e che ogni potenza è ruotata di 90° in senso antiorario rispetto a quella inferiore (fig. 1.22a). Si può agevolmente verificare che un vettore, moltiplicato per j, viene ruotato di 90° in senso antiorario, conservando inalterato il modulo (fig. 1.22b). Analogamente un vettore che venga diviso per j viene ruotato di 90° in ritardo.

L’unità immaginaria j corrisponde quindi ad un operatore vettoriale di modulo S = 1 e angolo φ= 90°: esso, moltiplicato per un vettore qualsiasi, lo ruota di 90° in anticipo, lasciandone inalterato il modulo.

 Fig 1.22 – a) Potenze dell’unità immaginaria b) Prodotto di un vettore per l’operatore j

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