Transitori nei circuiti R – L

 

Consideriamo il circuito di fig. 6.1, dove un conduttore di induttanza L e di resistenza R L è alimentato da una rete lineare comunque complessa schematizzata, secondo il teorema di Thévenin, dalla serie di un generatore di tensione ideale e di una resistenza equivalente R,,,. La resistenza totale del circuito, vista dall’induttanza, risulta


Fig 6.1 – Chiusura di un circuito induttivo

Chiudendo il tasto, si instaura un transitorio.

Per trattare correttamente i transitori della corrente nell’induttanza, ricordiamo che una variazione di flusso comporta una variazione di energia immagazzinata: la potenza scambiata tra campo magnetico e circuito elettrico si ottiene dividendo tale variazione di energia per il tempo.

Nessuna potenza, per quanto grande, potrà mai provocare una variazione di energia in un tempo nullo, per cui si può affermare il principio di continuità del flusso magnetico:

il flusso magnetico non ammette variazioni a gradino.

Se il flusso è prodotto dalla corrente di una sola bobina lo stesso principio può essere esteso alla corrente:

la corrente attraverso un induttanza non ammette variazioni a gradino.

Grazie a questo principio, qualunque evento si manifesti in un circuito dove siano presenti induttanze (ad esempio apertura o chiusura di interruttori) si possono conoscere senza alcun calcolo le correnti in tutte le bobine nell’istante immediatamente successivo all’evento: esse sono esattamente identiche al valore che avevano nell’istante precedente.

Se più bobine concatenano esattamente lo stesso flusso (ad esempio quando sono avvolte sullo stesso rocchetto) il principio di continuità rimane valido per il flusso e per la somma delle correnti concatenate. In questo caso si può verificare un gradino di corrente in una bobina, ma esso viene istantaneamente compensato da almeno un gradino con valore opposto in un’altra bobina: la continuità del flusso e della somma delle correnti concatenate sono così assicurate.

Tornando‘al circuito di fig. 6.1, come evolve la corrente dopo la chiusura del tasto? Indichiamo questa corrente, variabile nel tempo, con il simbolo i (t), e scriviamo l’equazione di Kirchhoff alla maglia

Analogamente a quanto già visto nei transitori capacitivi,,la funzione matematica che, in ogni istante, soddisfa questa uguaglianza è un esponenziale del tipo

dove Ii rappresenta la corrente iniziale
  If la corrente finale
Τ la costante di tempo

Con la valutazione di questi tre parametri il transitorio risulterà completamente determinato.

Valore iniziale Ii: per il principio di continuità esso coincide con la corrente precedente la chiusura del tasto; nel caso in esame Ii = 0.

Valore finale If: a transitorio estinto la corrente sarà costante e quindi la tensione ai capi dell’induttanza sarà nulla: la corrente sarà determinata dalla sola resistenza

Costante di tempo Τ sfruttando la proprietà degli esponenziali secondo la quale

si ricava

Avendo già stabilito che If = E/R e che Ii = 0, ricaviamo

È il caso di ricordare ancora una volta che R è data dalla somma della resistenza RL e della resistenza equivalente di Thevenin della rete, vista dai capi dell’induttore.

Fig 6.2 – Transitorio della corrente della tensione nell’induttore

Il grafico della corrente durante il transitorio è tracciato in fig. 6.2 a) utilizzando i valori di Ii, If e Τ appena calcolati; volendo esprimere in formula questo andamento si sostituiscono nell’equazione 4) gli stessi tre valori

con Τ =L/R

L’andamento della tensione ai capi dell’induttanza, eL = L di/dt, si ricava analiticamente dall’equazione 1), e risulta

L’andamento di eL è mostrato in fig. 6.2 b).

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