Forza di attrazione di un elettromagnete

L’elettromagnete di fig. 5.6a è alimentato da un generatore di corrente. Sappiamo per esperienza che esso esercita una forza di attrazione sull’ancora mobile di ferro: ci proponiamo ora di calcolarne il valore.


Fig 5.6 – a) Elettromagnete b) Lavoro virtuale nello spostamento dell’ancora mobile

 Poiché siamo già in grado di calcolare le energie, risulta conveniente applicare il metodo dei lavori virtuali: si immagina di far compiere all’ancora mobile un piccolo spostamento Δx = I2 – I1, si calcolano le conseguenti variazioni di energia nel sistema le quali, per il principio di conservazione, corrispondono al lavoro meccanico L necessario per compiere lo spostamento.

La forza è ricavata dal rapporto

Calcoliamo dunque le energie nel sistema prima e dopo lo spostamento Δx.

In fig. 5.6b la curva 1 rappresenta la caratteristica magnetica del circuito prima dello spostamento. Poiché il traferro è piccolo risulta evidente il ginocchio di saturazione. La corrente concatenata vale A ed il flusso vale Φ1.

L’energia immagazzinata W1 è data, come al solito, dall’area compresa tra la caratteristica e l’asse delle ordinate: nella figura essa corrisponde alla somma

Dopo lo spostamento la caratteristica del circuito diventa quella rappresentata dalla curva 2, ed il suo punto di lavoro ha coordinate A, Φ2 (il flusso diminuisce poiché è aumentato il traferro).

L.’energia immagazzinata W2 è data, in questo caso, dalla somma

Durante lo spostamento la diminuzione di flusso induce un impulso di tensione

L’energia Eg, trasferita al generatore, vale quindi

Per il principio di conservazione, l’energia Wg può provenire solamente dalla variazione di energia immagazzinata nel circuito magnetico e dal lavoro meccanico L compiuto sull’àncora

Ricaviamo il lavoro meccanico

esso corrisponde all’area ombreggiata di fig. 5.6b.

Siamo ora in grado di calcolare la forza dividendo il lavoro per lo spostamento Δx

Fig 5.7 – Lavoro virtuale nello spostamento di un’ancora mobile con ampio traferro

L’applicazione analitica di questa relazione è molto complessa in quanto è complessa l’espressione della caratteristica magnetica, e quindi delle aree. Un calcolo affidabile può essere effettuato attraverso l’utilizzo dell’elaboratore. Nel caso in cui si consideri un ampio traferro, sia per la posizione iniziale che per quella finale, le caratteristiche A – Φ risultano lineari, come in fig. 5.7, poiché l’energia è quasi per intero localizzata nel traferro. Solamente in questo caso l’area racchiusa tra le due caratteristiche ha forma triangolare ed il calcolo del lavoro L risulta semplicemente

Ricordando che, nel caso lineare, Φ= A / ℜ /  = Aμ0S / l, l’espressione del lavoro diventa

poiché l* l2 ≈ l2medio , e l– l2 = 2Δx si può scrivere

la forza è data infine dalle seguenti espressioni

Per ognuna delle espressioni vale la metà

 

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