Calcolo dei circuiti magnetici

Prendiamo ancora in esame il circuito magnetico toroidale omogeneo illustrato in fig. 4.2 illustrato nell’articolo caratteristica di magnetizzazione; il materiale che ne costituisce il nucleo presenta la caratteristica H-B riportata in fig. 4.10 a).


 

Fig 4.10 – a) Caratteristica del materiale b) Caratteristica Φ-A del circuito

Il circuito è sottoposto alla corrente concatenata

Ed è percorso dal flusso

Per successive coppie di valori H-B si possono calcolare le corrispondenti coppie di valori A-Φ, che riportate in diagramma descrivono la caratteristica 4.10 b). Questa è simile alla 4.10 a),ma le dimensioni fisiche degli assi sono cambiate: l’asse delle ascisse è stato moltiplicato per la lunghezza del circuito magnetico, mentre l’asse delle ordinate è stato moltiplicato per la sua sezione S.

La curva a) è genericamente riferita al tipo di materiale, indipendentemente dalla sua geometria, mentre la curva b) è specifica per quel particolare circuito avente dimensioni ben definite.

Rileviamo a questo punto una analogia utilissima per il calcolo magnetico:  La caratteristica A-Φ di un circuito magnetico omogeneo è in tutto analoga alla caratteristica corrente-tensione di un bipolo elettrico non lineare.

Per lo studio dei circuiti magnetici complessi vengono dunque utilizzate le stesse tecniche di composizione dei bipoli: basterà sostituire la corrente con il
flusso e la tensione con la corrente concatenata.

L’analogia viene spinta oltre, definendo, in ciascun punto della caratteristica, una nuova grandezza detta riluttanza (simbolo  )

Quest’ultima espressione, analoga alla legge di Ohm, viene detta legge di Ohm magnetica, o legge di Hopkinson.

Ricordando che: A = H * l e che Φ = B*S = μ * H * S, l’espressione di  può essere riscritta come

Anche questa formula è analoga a quella del calcolo della resistenza di un conduttore, a partire dalle sue dimensioni; qui il valore di ρ è sostituito da 1/μ.

Osserviamo che, mentre il valore di ρ era di solito una costante, il valore di μy e quindi di  nei materiali ferromagnetici sono variabili in funzione di A: la legge di Hopkinson è quindi meno utilizzata della legge di Ohm, poiché raramente i circuiti magnetici sono lineari.

Anche di un circuito magnetico può comunque essere valutato il valore del coefficiente di autoinduzione, o induttanza L.

Considerando la legge di Hopkinson

e moltiplicando ambo i membri per N

si può ricavare l’induttanza

L’induttanza di un circuito magnetico è data dal rapporto tra il quadrato del numero di spire dell’avvolgimento e la riluttanza totale del circuito.

L’induttanza realizzata con circuiti magnetici non lineari non è costante al variare di B. Tuttavia se il circuito magnetico presenta un ampio traferro con elevata riluttanza tale da far trascurare la riluttanza del tratto ferromagnetico, l’induttanza può ritenersi costante.

Nell’esempio che segue vediamo come si traccia per punti la caratteristica A-Φ di un circuito magnetico omogeneo, dati

lunghezza l = 400 mm
sezione S = 200 mm2
materiale ferro al silicio (caratteristica di figura sotto).

Si compila la tabella di fig. 4.11 con la seguente procedura:

  1. riga: si stabiliscono arbitrariamente diversi valori di B, scelti in modo da coprire il campo di valori che ci interessa.
  2. riga: per ciascun valore di B si ricava, dalla curva di prima magnetizzazione del materiale, il corrispondente valore di H.
  3. riga: si moltiplica ciascun valore di B per la sezione S, ricavando i valori di Φ (ricordare il fattore 10-6 per passare dai mm2 ai m2).
  4. riga: si moltiplica ciascun valore di H per la lunghezza l, ricavando(ricordare il fattore 1O-3 per passare dai mm ai m).

Quando la tabella è completata, la caratteristica A-Φ può essere tracciata graficamente, interpolando opportunamente gli intervalli tra i punti calcolati.

B[T] 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
H[A/m] 100 145 180 250 400 700 2300 7500 24000
Φ=B*S[μWb] 40 80 120 160 200 240 280 320 360
A=H*l[A] 40 58 72 100 160 250 920 3000 9600

 Fig 4.11

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