Funzione Derivata

In fig. 1.1 è rappresentata una generica funzione del tempo y(t). In numerosi fenomeni fisici, come quelli relativi ai circuiti induttivi e capacitivi, non interessa tanto la funzione in sé, quanto piuttosto la sua rapidità di variazione nel tempo.


Fig 1.1 – Derivata in un punto come coefficiente angolare della tangente nel punto A.

In fig. 1.1, nell’intervallo di tempo Δt la funzione subisce un incremento Δy. Il rapporto:

rappresenta il coefficiente angolare della retta secante la curva nei punti A e B.

Avvicinando il punto B ad A, l’intervallo A: si riduce progressivamente e la secante si avvicina sempre più alla tangente nel punto A; anche il rapporto

si approssima sempre più al coefficiente angolare m della tangente. La derivata in un punto è proprio il coefficiente angolare della tangente la curva nello stesso punto:

Commentiamo i vari simboli usati in questa espressione. La derivata è rappresentata dal rapporto,

nel quale la lettera d sostituisce il Δ usato in precedenza; questo significa che si considerano intervalli di tempo cosi piccoli da far coincidere la retta secante con la tangente.

L’indicazione t = t A, scritta ai piedi della parentesi, è necessaria per precisare l’istante di tempo nel quale viene calcolata la derivata.

Infatti, nei diversi punti della funzione y(t), la derivata assume valori diversi: anch’essa è dunque una funzione del tempo, e può essere messa in diagramma. Nell’esempio di fig. 1.2 è rappresentata una generica funzione y(t), sotto la quale è tracciata la funzione derivata, ottenuta riportando, punto per punto, il valore del coefficiente angolare corrispondente.

All’istante t1 la funzione presenta la massima velocità di salita: la derivata nello stesso istante assume il massimo valore positivo. All’istante t2 la tangente è orizzontale (m2 = 0): la funzione derivata passa per lo zero.

Negli intervalli in cui la funzione y(t) è crescente la sua derivata è positiva; dove y(t) è decrescente la derivata risulta negativa. Nei punti di massimo e minimo, dove la tangente è orizzontale, la derivata è nulla.

Risulta evidente che la derivata di una retta è costante al variare del tempo, e coincide con il coefficiente angolare della retta stessa.

Fenomeni statici, rappresentati da una retta orizzontale, presentano derivata nulla in tutti i punti, coerentemente con il fatto che non manifestano variazioni nel tempo.

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