Carica del condensatore per mezzo di un generatore reale

 

In fig. 3.9 un condensatore viene caricato per mezzo di un generatore reale, schematizzato da un generatore di tensione ideale in serie ad una resistenza equivalente.


Fig 3.9 – Carica di un condensatore attraverso un generatore reale. a)  Schema elettico; b) Andamento della tensione; c) Andamento della corrente

Al posto del generatore si può pensare una rete lineare comunque complessa, rappresentata dal suo equivalente di Thévenin. La tensione del generatore equivalente vale E, la sua resistenza interna vale R, mentre il condensatore, a tasto aperto, è carico alla tensione V0.

Dobbiamo calcolare l’evoluzione nel tempo della tensione e della corrente dopo la chiusura del tasto, e a tale scopo impostiamo 1’equazione alla maglia

ed inversamente

La corrente e la tensione vengono simboleggiati con lettera minuscola per ricordare che si tratta di valori istantanei, variabili nel tempo.

Iniziamo con il trattare il caso più semplice, supponendo che il condensatore sia inizialmente scarico.

Per il principio di continuità, nell’istante immediatamente successivo alla chiusura del tasto, la tensione ai capi del condensatore è ancora nulla, ed il valore iniziale della corrente risulta

A causa di questa corrente il condensatore inizia a caricarsi, ed ai suoi capi si manifesta una tensione v(t) crescente, che si oppone a quella del generatore; la corrente di carica diminuisce, in accordo con la formula:

.

La tensione ai capi del condensatore si avvicina asintoticamente ad E, e di conseguenza la corrente tende a zero. Dopo un tempo abbastanza lungo si può ritenere v(t) = E e i(t) =0: il transitorio si considera estinto.

Poiché nell’istante iniziale il condensatore è percorso dalla corrente I0, ma presenta tensione nulla ai morsetti, si verifica una situazione di corto circuito.

La I0 è limitata solamente dalla resistenza R; se questa e di basso valore il picco iniziale di corrente può risultare pericolosamente elevato. A transitorio estinto la corrente si annulla ed il condensatore corrisponde ad un circuito aperto.

Le curve matematiche che descrivono l’andamento della tensione e della corrente nel tempo sono curve esponenziali del tipo illustrato all’articolo Curve Esponenziali; per poterle tracciare dobbiamo quindi determinate, per ciascuna di esse, il valore iniziale, il valore finale e la costante di tempo.

— Andamento della tensione.

Valore iniziale VI = 0

Valore finale VF = E

Costante di tempo τ da calcolare

Per ricavare τ utilizziamo la proprietà 1) dell’articolo Curve Esponenziali

I valori di VF e di VI sono già stati determinati; la derivata della tensione all’istante iniziale viene ricavata dall’equazione fondamentale del condensatore

All’istante iniziale si ottiene

Questa relazione ci permette infine di calcolare τ

 

Il risultato ottenuto è intuitivo, poiché un’elevata resistenza riduce la corrente di carica, ed un’elevata capacità richiede una quantità di carica maggiore per raggiungere la tensione finale: i due elementi contribuiscono a prolungare la durata del transitorio.

È facile verificare che il prodotto R * C ha le dimensioni fisiche di un tempo.
Siamo ora in grado di tracciare la curva v(t) (fig. 3.9 b), la cui espressione analitica è ricavata dalla formula

sostituendo a VF, VI e τ i loro effettivi valori:

— Andamento della corrente.

Valore iniziale I0 = E

Valore finale IF = 0

La costante di tempo τ e ancora uguale ad R*C. L’andamento della corrente è tracciato in fig. 3.9 c), e la sua espressione analitica, ricavata sempre dalla formula:

risulta

La carica complessivamente trasferita al condensatore corrisponde all’area compresa fra la curva della corrente ed il suo asintoto; per la proprieta 2) tale area è pari al prodotto

in accordo con l’equazione del condensatore.

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