Curve Esponenziali

I prossimi articoli tratteranno i fenomeni transitori nei circuiti capacitivi.



Durante i transitori, le tensioni e le correnti evolvono nel tempo secondo una curva matematica detta esponenziale. Questa curva è di fondamentale importanza in elettrotecnica ed in numerosissimi altri fenomeni naturali e merita quindi uno spazio dedicato al suo approfondimento.

Per nostra fortuna l’esponenziale gode di numerose proprietà molto semplici, che ci permetteranno di trattarla con disinvoltura.

 

Per costruire la curva esponenziale si suddivide l’asse dei tempi in intervalli identici aventi durata I, come in fig. 3.2; 1 6: detta costante di tempo.

Fig 3.2 – Curva esponenziale crescente.

Quando t = 0, l’ordinata della curva vale A > 0; ogni volta che trascorre un intervallo di tempo pari a τ, il nuovo valore dell’ordinata viene ricavato dal precedente moltiplicato per la costante e (e=2,71828…, base dei logaritmi naturali). La successione di tutti i valori cosi ottenuti costituisce una progressione geometrica di ragione e. L’esponenziale crescente, appena descritta, aumenta con una rapidità proporzionale al valore raggiunto: dopo un tempo sufficiente essa raggiunge valori talmente elevati, e cresce quindi cosi velocemente, da superare qualunque potenza di t. Questa curva è tipica di fenomeni instabili ed esplosivi (ad esempio la reazione a catena) e non interessa i fenomeni elettrici che intendiamo esaminare.

Per i nostri scopi è interessante la curva esponenziale decrescente, rappresentata in fig. 3.3: la sua ordinata viene divisa per e dopo ogni intervallo pari τ. La successione dei punti cosi ottenuti costituisce una progressione geometrica di ragione 1/e.

 

Fig 3.3 – Curva esponenziale decrescente

Al crescere del tempo i valori della funzione diventano minori di qualunque numero prefissato, per quanto piccolo, ma non saranno mai nulli: l’asse delle ascisse costituisce quindi l’asintoto dell’esponenziale decrescente.

Questo andamento nel tempo è tipico di quei fenomeni stabili, i quali, dopo un transitorio iniziale, tendono ad un valore asintotico.

L’espressione analitica dell’esponenziale decrescente è

dove t rappresenta la variabile tempo, riportata in ascisse, l’ordinata y rappresenta la variabile in esame (per le nostre applicazioni sarà: generalmente una tensione o una corrente).

L’ampiezza A corrisponde al valore di y per t=0. La costante τ ha le dimensioni di un tempo, coerentemente con il fatto che nelle formule fisiche gli esponenti sono adimensionali. Poiché essa rappresenta il tempo che deve trascorrere affinché l’ampiezza venga divisa per e, i fenomeni lenti sono caratterizzati da elevati valori di τ, mentre fenomeni veloci comportano costanti di tempo piccole.

La tabella seguente fornisce i valori che l’esponenziale decrescente assume in funzione del tempo

t y
0    A
τ    A/e = A*0,3679
2τ    A/e = A*0,1353
3τ    A/e = A*0,0498
4τ    A/e = A*0,0183
5τ    A/e = A*0,0067
6τ    A/e = A*0,0025
7τ    A/e = A*0,0009
8τ    A/e = A*0,0003

Si osservi che il tempo è stato espresso come multiplo di τ, e che, dopo un intervallo pari a 5τ la funzione risulta ridotta a meno dell 1%, dell’ampiezza iniziale, e dopo 7τ a meno del 1%.

Nelle curve che rappresentano i transitori elettrici l’asintoto non è sempre coincidente con l’asse delle ascisse, ma spesso si trova ad un livello diverso da zero, come in fig. 3.4 a). Questo livello, indicato con VF, è detto valore finale, mentre il valore iniziale viene indicato con VI.

L’ampiezza A e data dalla differenza fra il valore finale ed il valore iniziale

L’espressione analitica di questa funzione diventa

Fig 3.4 – Curva esponenziale con valore finale diverso da zero e minore del valore iniziale

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