Configurazione di Campi Elettrici Complessi

Finora abbiamo studiato il campo a simmetria sferica che circonda una carica puntiforme. Se in una regione sono presenti più cariche, come in fig. 1.6, il campo assume una configurazione più complessa. Poiché il legame fra campo elettrico e carica è lineare, risulta possibile utilizzare la sovrapposizione degli effetti per calcolare il campo anche in questo caso.


Fig 1.6 – Campo elettrico dovuto alla presenza di più cariche.

Nel generico punto P1 il vettore campo risultante K è dato dalla somma vettoriale dei campi prodotti separatamente da ciascuna carica. Ripetendo la procedura per tutti i punti della regione (come ad esempio P2), si ottiene l’intera mappa del campo elettrico, qualunque sia la disposizione ed il numero delle cariche. In fig. 1.7 vengono rappresentati i campi, particolarmente interessanti, che circondano due cariche uguali, dello stesso segno (fig. 1.7a) e di segno opposto (fig. 1.7 b).

In presenza di più; cariche le linee di campo non sono più rettilinee, ma risultano generalmente curve; tuttavia conservano le stesse proprietà già enunciate nel caso semplice di un’unica carica: i vettori K, in ogni punto, sono ancora tangenti alle linee, e la densità di queste ultime, nell’intorno di un punto, è sempre proporzionale al modulo di K.

Analizziamo ora il campo generato da un insieme di cariche uniformemente distribuite su una superficie piana. Prendiamo in esame un generico punto P, che si trova lontano dai bordi ed alla distanza h, piccola rispetto all’estensione della superficie (fig. 1.8). Come già visto, il vettore campo risultante su P è dato dalla somma vettoriale dei contributi elementari di tutte le cariche presenti sulla superficie.

Il vettore campo risultante K è perpendicolare alla superficie, poiché le componenti ad essa parallele sono simmetriche e si elidono esattamente.

Fig 1.7 – Campo elettrico intorno ad una coppia di cariche di egual valore a) dello stesso segno b) di segno opposto

 

Fig 1.8 –  Carica uniformemente distribuita su una superficie estesa; il vettore K è indipendente dalla distanza h

Questa simmetria delle componenti parallele alla superficie si spiega pensando che un punto risente prevalentemente delle forze provenienti dall’area immediatamente circostante, mentre è trascurabile il contributo dell’area più lontana: a sufficiente distanza dai bordi la simmetria è verificata.

In un qualsiasi altro punto P1, scelto con gli stessi criteri di P, il vettore K1 risulta identico a K in modulo, direzione e verso, anche se h1 è diverso da h.

Questo risultato, apparentemente strano, è ottenuto analiticamente mediante un’operazione esatta di integrazione vettoriale; a livello intuitivo si può comprendere questa uniformità di K in tutti i punti, osservando che i vettori elementari di P, contenuti nel piccolo cono indicato in figura, corrispondono alla carica contenuta nella superficie S.

I vettori elementari di P1, contenuti nel cono di uguale apertura angolare, corrispondono alla carica contenuta in S1.

Le forze coulombiane sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza, mentre le superfici S ed S1, e quindi le cariche in esse contenute, sono direttamente proporzionali al quadrato della distanza: le due cose si compensano esattamente, e tutti i vettori K risultanti sono identici in ogni punto, perpendicolari alla superficie ed indipendenti dal valore di h (a condizione che h risulti piccolo rispetto all’estensione della superficie).

Il calcolo analitico di K conduce al seguente risultato, indipendente dalla posizione

dove Q rappresenta la carica totale presente sulla superficie, S rappresenta l’area della superficie.

Il campo nell’interno di una superficie piana carica elettricamente può essere rappresentato, come al solito, per mezzo delle linee di campo, come nella fig. 1.9 che rappresenta la superficie in sezione. Lontano dai bordi le linee risultano parallele ed equidistanti, in accordo col fatto, appena dimostrato, che vicino ad una superficie piana il campo è uniforme.

Una lastra metallica carica costituisce quindi un mezzo pratico per ottenere un campo uniforme, utile in molte applicazioni; essa costituirà anche il punto di partenza per lo studio dei condensatori.

 Fig 1.9 – Sezione di una lastra carica uniformemente e rappresentazione del campo mediante le linee.

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