Metodo del Potenziale ai Nodi – Teorema di Millman

l metodo del potenziale ai nodi deriva, come il precedente, da quello di Kirchhoff, ma considera solamente le equazioni ai nodi. Esso è basato sull’impostazione di un sistema ridotto, formato solamente da N — 1 equazioni, dove N è il numero dei nodi, le cui incognite sono le tensioni nei vari nodi, rispetto ad un nodo qualsiasi preso come riferimento. Le correnti nei vari rami vengono poi ricavate in maniera semplice



utilizzando la legge di Ohm generalizzata.
Si procede nel modo seguente:

  1. Si sceglie un nodo di riferimento e si attribuisce un valore incognito di tensione fra ciascun nodo e il riferimento.
  2. Si attribuisce un verso arbitrario alle correnti in ogni ramo.
  3. Si esprimono le correnti in ciascun ramo in funzione delle tensioni incognite ai capi dello stesso ramo, utilizzando le espressioni della legge di Ohm generalizzata.
  4. Si scrive il sistema di N – 1 equazioni agli N – 1 nodi, utilizzando le espressioni delle correnti ricavate al punto 3).
  5. Si ricavano le tensioni ai vari nodi risolvendo il sistema.
  6. Sostituendo queste tensioni nelle equazioni del punto 3) si ricavano immediatamente le correnti.

Esempio:

Considerando la rete di fig 3.3, che riproduce lo stesso circuito delle figure precedenti.

Fig 3.3

  1. Si assume come riferimento il nodo C; le tensioni incognite sono percio VAC e VAB che per brevità vengono indicate VA e VB.
  2. Si attribuiscono i versi delle correnti nei rami come indicato in figura.
  3. Si scrivono le espressioni delle correnti

    formula

  4. Si impostano le due equazioni ai nodi

      nodo A)  formula

      nodo B)  formula

    Sostituendo ad ogni corrente la corrispondente espressione, ricavata al punto 3), si imposta il sistema

    formula

  5. Sostituendo i valori numerici a tutti i termini noti si ricava infine il sistema:

     formula

    Anche questo sistema risulta molto semplificato rispetto a quello del metodo di Kirchhoff, e fornisce le seguenti soluzioni:

     formula

  6. Dalle espressioni del punto 3) si ricavano ora tutte le correnti.
    Nel caso in cui un circuito sia composto dai due soli nodi A e B, il sistema si riducde ad una sola equazione, che consente di determinare immediatamente la tensione VAB in questo caso l’espressione rappresenta il teorema di Millman:

    formula

    Con n si indica il numero dei lati collegati tra i due nodi; le El rappresentano le tensioni dei generatori di tensione, le Ii sono le correnti dei generatori di corrente.
    Tutti g1i addendi del numeratore hanno le dimensioni di una corrente; essi equivalgono alla corrente che circolerebbe in ciascun rarno cortocircuitando i punti A e B. Il loro segno è positivo se la loro corrente scorre dal generatore verso A; indicando con Icc la corrente che circola nel conduttore di cortocircuito tra A e B, dato dalla somma delle singole correnti nei vari rami, e con Req la resistenza equivalente vista dai punti A e B, dopo aver staccato i generatori di corrente e cortocircuitato quelli di tensione l’espressione assume la forma.

    formula

Nelle rete di fig 3.4 calcolare la tensione VAB, tra gli unici due nodi A e B.

Dati:
E1=10V
E2=40V
I3=3A
I5=1A
R1=10Ω
R2=20Ω
R4=20Ω
R5=80Ω

Fig 3.4

formula

Si osservi che la resistenza R5 in serie al generatore di corrente ideale I5 non influisce nel calcolo di VAB.

 

 

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