Principi di Kirchhoff

 Finora sono stati considerati circuiti composti da un solo generatore connesso i ad un solo resistore; in generale, però, i circuiti elettrici sono composti da più bipoli collegati fra loro in modo da formare una rete complessa (fig. 2.1). Definiamo gli elementi che costituiscono una rete.

Si definisce punto elettrico il luogo della rete i cui punti geometrici sono tutti equipotenziali fra loro (vedi Legge di Ohm). Nella fig. 2.1 sono punti elettrici A,`B, C, D, F; i due punti E ed E’ sono equipotenziali, perché collegati da resistenza nulla e costituiscono perciò un unico punto elettrico.


Si definisce nodo il punto elettrico in cui confluiscono almeno tre conduttori percorribili da corrente. In fig. 2.1 sono nodi i punti B, C, D, E ; i punti E e G non sono nodi, poiché connettono due conduttori solamente; il punto A non costituisce un nodo perché solamente due dei tre conduttori connessi sono percorribili da corrente.

Si definisce ramo una parte della rete collegata tra due nodi adiacenti, attraversata da un unica corrente. Sono rami, ad esempio, la successione R1,E1,R2 collegata fra i nodi B ed E, la successione E5,R5, collegata fra i nodi C e D, ed il resistore R4, fra i nodi B e C.

Si definisce maglia un qualsiasi circuito chiuso appartenente alla rete. Sono maglie, ad esempio, il circuito chiuso composto da R1,E1,R2R3, ed il circuito chiuso composto da R1,E1,R2,R4,R5,E5,R6.

Il comportamento delle correnti e delle tensioni nelle reti elettriche é ` regolato, oltre che dalla giá nota legge di Ohm, dai due principi di Kirchhojf, altrettanto fondamentali nello studio dell’elettrotecnica.

Fig 2.1 – Esempio di rete complessa

Primo principio

Se si racchiude una parte di rete elettrica all’interno di una superficie chiusa, la somma delle correnti entranti nella superficie è pari alla somma delle correnti uscenti.

Il primo principio si esprime anche nella forma: ` la somma algebrica di tutte le correnti attraverso una superficie chiusa è sempre uguale a zero (ΣI = 0). Il simbolo Σ è detto sommatoria ed indica la somma di tutte le correnti I.

Si attribuisce arbitrariamente segno positivo alle correnti entranti e segno negativo a quelle uscenti, o viceversa. In fig. 2.2 una parte della rete é racchiusa dalla superficie S1; per il primo principio vale l’equazione:

formula

oppure:

formula

Molto spesso la superficie chiusa considerata comprende un solo nodo, come nei casi indicati da S2 ed S3, per i quali valgono le relazioni seguenti

formula

formula

Secondo principio.

In una maglia la somma algebrica di tutte le tensioni ai capi dei bipoli che la costituiscono è uguale a zero (ΣRI + ΣE+ V1=0).

I segni positivi ai capi dei bipoli sono determinati secondo la convenzione vista sulla Legge di Ohm. Si stabilisce quindi un senso di percorrenza arbitrario della maglia (orario o antiorario); il segno algebrico di ogni tensione inserita nella sommatoria sarà positivo se la tensione è concorde con il senso stabilito e negativo. se é discorde.

 

Fig 2.2 – Primo principio di Kirchhoff

Esempio

Fig. 2.3

Del circuito di fig. 2.3 sono dati:
R1=10Ω R2=10Ω R3=20Ω
R4=l0Ω R5=30Ω I2=2A
Si determini
I4, E1, VAB.

Soluzione
Applicando il secondo principio di Kirchhoff alla maglia 2 si pone uguale a zero la somma delle tensioni di maglia

formula

Si ricava l’incognita I4

formula

Applicando il primo principio di Kìrchhoff al nodo C si ottiene

formula

mentre attraverso il secondo principio di Kirchhoff per la maglia 1 si ricava E1

formula

formula

La tensione VAB avrà pertanto il valore

formula

oppure

formula

In lig. 2.4 consideriamo la maglia 1 composta da R3R4R5E5R6. I versi delle correnti ci permettono di stabilire il segno positivo della tensione ai capi dei resistori. Assumendo il senso orario di percorrenza della maglia, il secondo principio di Kirchhoff ci permette di scrivere la seguente equazione

formula

Assumendo, come verso di percorrenza, il senso antiorario, tutti i segni nell’equazione risulterebbero cambiati, ma l’equazione risultante sarebbe esattamente equivalente alla precedente, giustificando cosi l’arbitrarietá della scelta del senso di percorrenza della maglia.

Fig 2.4 – Secondo principio di Kirchhof

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